Minggu 02 — kakak, kelas 5 / Bilangan
Potongan yang sama besar — dan menyederhanakannya kembali
Minggu lalu kita belajar kelipatan dan faktor. Itu alatnya. Minggu ini kegunaannya.
KPK dipakai untuk menjumlahkan pecahan. FPB dipakai untuk menyederhanakannya. Hanya itu.
Berapakah 1⁄4 ＋ 1⁄6 ?
1⁄4 ＋ 1⁄6 ＝ 2⁄10
Pembilang dijumlahkan, penyebut dijumlahkan. Ini salah.
Cara mengetahuinya tanpa menghitung: 1⁄4 lebih besar daripada 1⁄6. Kita menjumlahkan keduanya — tetapi hasilnya, 2⁄10 ＝ 1⁄5, justru lebih kecil daripada 1⁄4 sendiri. Menambah sesuatu tidak mungkin membuat jumlahnya berkurang.
Satu potong dari pita yang dibagi 4, dan satu potong dari pita yang dibagi 6, adalah potongan dengan ukuran yang berbeda.
Benda yang ukurannya berbeda tidak bisa langsung dihitung bersama. Sama seperti 3 jeruk ditambah 2 apel tidak bisa disebut 5 begitu saja.
Perempatan dan perenaman menjadi sama besar kalau semuanya dipotong menjadi dua belasan.
1⁄4 ＝ 3⁄12 1⁄6 ＝ 2⁄12
12 adalah KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 4 dan 6 — bilangan terkecil yang habis dibagi oleh kedua penyebut.
Inilah jawaban dari 'kenapa minggu lalu belajar KPK?'
18⁄24 bisa ditulis dengan potongan yang lebih sedikit dan lebih besar.
FPB (Faktor Persekutuan terBesar) dari 18 dan 24 adalah 6. Bagi pembilang dan penyebut dengan 6, hasilnya 3⁄4.
Besarnya sama sekali tidak berubah. Hanya cara menulisnya yang lebih pendek.
Kalau menyamakan penyebut berarti memotong lebih halus, menyederhanakan berarti menggabungkan kembali. Gerakan yang sama, arah berlawanan.
1⁄4 ＋ 1⁄6
① KPK dari 4 dan 6 → kelipatan 4: 4, 8, 12 / kelipatan 6: 6, 12 → 12
② 1⁄4: kalikan atas dan bawah dengan 3 → 3⁄12 1⁄6: dengan 2 → 2⁄12
③ 3⁄12 ＋ 2⁄12 ＝ 5⁄12
Hanya pembilang yang dijumlahkan. Penyebutnya tidak. Tiga per dua belas dan dua per dua belas menjadi lima per dua belas.
5⁄6 − 1⁄4
① KPK dari 6 dan 4 adalah 12
② 5⁄6 ＝ 10⁄12 1⁄4 ＝ 3⁄12
③ 10⁄12 − 3⁄12 ＝ 7⁄12
Sederhanakan 18⁄24
① Faktor 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 / faktor 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
② Faktor persekutuan terbesar: 6
③ 18 ÷ 6 ＝ 3 24 ÷ 6 ＝ 4 → 3⁄4
Jawaban ditulis dalam bentuk paling sederhana, yaitu ketika tidak ada lagi bilangan yang membagi keduanya.
1⁄6 ＋ 1⁄3
① KPK-nya 6 → 1⁄6 ＋ 2⁄6 ＝ 3⁄6
② 3 dan 6 sama-sama habis dibagi 3 → 1⁄2
Setelah menjumlah, selalu periksa apakah masih bisa disederhanakan. Langkah inilah yang paling sering terlupa.
KPK dari 2 dan 3 adalah 6.
1⁄2 ＝ 3⁄6 1⁄3 ＝ 2⁄6
3⁄6 ＋ 2⁄6 ＝ 5⁄6
Bukan 2⁄5. Penyebut tidak pernah dijumlahkan.
KPK dari 4 dan 6 adalah 12.
9⁄12 ＋ 2⁄12 ＝ 11⁄12
KPK dari 6 dan 9 adalah 18.
15⁄18 − 4⁄18 ＝ 11⁄18
FPB dari 24 dan 36 adalah 12.
24 ÷ 12 ＝ 2 36 ÷ 12 ＝ 3 → 2⁄3
Membagi 2, 2, lalu 3 sampai ke tempat yang sama (12⁄18 → 6⁄9 → 2⁄3). Lebih panjang, tetapi tidak salah.
KPK dari 4 dan 12 adalah 12 — 12 sudah kelipatan 4.
3⁄12 ＋ 1⁄12 ＝ 4⁄12
Keduanya habis dibagi 4 → 1⁄3
Menyamakan penyebut juga dipakai untuk membandingkan, bukan hanya menjumlah.
KPK dari 3 dan 8 adalah 24.
2⁄3 ＝ 16⁄24 5⁄8 ＝ 15⁄24
16 > 15, jadi 2⁄3 lebih besar.
Yang diminta kalimat, bukan angka.
Contoh jawaban:
"1⁄2 saja sudah lebih besar daripada 2⁄5. Menambahkan 1⁄3 tidak mungkin menghasilkan bilangan yang lebih kecil daripada awalnya. Menjumlahkan penyebut berarti mengubah besar satu potongan, dan itulah sebabnya tidak boleh."
Bisa mengatakan ini adalah bagian terpenting dari materi ini.
Keduanya menghasilkan jawaban yang benar. Memakai 48 membuat angkanya besar dan menyisakan lebih banyak pekerjaan menyederhanakan di akhir.
Kita memakai KPK karena itulah yang paling kecil kemungkinannya masih perlu disederhanakan — bukan karena aturan.
Sekarang matematikanya berganti baju. Isinya tidak berubah sedikit pun.
Layar komputer terdiri dari 1920 titik mendatar dan 1080 titik menurun. Layar itu kita sebut 16 : 9.
FPB dari 1920 dan 1080 adalah 120.
1920 ÷ 120 ＝ 16 1080 ÷ 120 ＝ 9
Bentuk layarnya sama sekali tidak berubah. Hanya tulisannya yang lebih pendek. Gerakannya sama persis dengan mengubah 18⁄24 menjadi 3⁄4.
Roda gigi 12 bertaut dengan roda gigi 18. Kedua tandanya mula-mula menghadap ke atas.
Setelah berapa gigi kedua tanda menghadap ke atas lagi?
KPK dari 12 dan 18 → 36 gigi
Saat itu roda kecil sudah berputar 36 ÷ 12 ＝ 3 kali dan roda besar 36 ÷ 18 ＝ 2 kali.
Bukan 12 × 18 ＝ 216. Mengalikan berarti menghitung sampai masing-masing berputar sebanyak jumlah gigi pasangannya — jauh terlalu lama.
Resep untuk empat orang menyebut 1⁄4 cangkir gula dan 1⁄6 cangkir garam. Berapa cangkir seluruhnya?
1⁄4 ＋ 1⁄6 ＝ 5⁄12 cangkir.
Tidak ada gelas ukur yang bertanda 5⁄12, jadi dalam praktiknya dibaca "sedikit lebih dari 1⁄3". Pecahan dipakai untuk memperkirakan jumlah, bukan hanya untuk mendapat jawaban persis.
Ini bukan soal ujian yang asli. Alasannya ada di kotak pada setiap soal, lengkap dengan tautan ke naskah resminya. Kerjakan punya kami dulu, baru buka yang asli untuk dibandingkan.
Yang sebenarnya diuji oleh soal ini：Bukan apakah kamu bisa menghitung, melainkan apakah kamu bisa menjelaskan mengapa caranya benar. Ujian nasional Jepang menanyakan ini setiap tahun.
⑴ Contoh alasan
"1⁄3 saja sudah lebih besar daripada 2⁄7. Menambahkan 1⁄4 tidak mungkin menghasilkan 2⁄7."
Intinya menyadari dari besarnya, sebelum menghitung apa pun.
⑵ KPK dari 3 dan 4 adalah 12.
4⁄12 ＋ 3⁄12 ＝ 7⁄12
⑶ Contoh penjelasan
"Kesalahannya menjumlahkan penyebut. Penyebut menyatakan besar satu potongan, jadi menjumlahkannya mengubah ukuran potongan itu. Samakan dulu kedua penyebut menjadi 12, lalu jumlahkan pembilangnya saja."
Yang sebenarnya diuji oleh soal ini：Gaya numerasi Indonesia. Pecahan diletakkan dalam situasi nyata, dengan satu angka yang tidak diperlukan diselipkan. Memilih angka mana yang dipakai itulah soalnya.
⑴ 1⁄4 ＋ 1⁄3. KPK dari 4 dan 3 adalah 12.
3⁄12 ＋ 4⁄12 ＝ 7⁄12
⑵ Penuh berarti 1 ＝ 12⁄12.
12⁄12 − 7⁄12 ＝ 5⁄12
⑶ Tidak.
Kedua bagian dijawab dengan pecahan. Angka 60 cm tidak pernah dipakai.
Menganggap semua angka yang tertulis harus dipakai — itulah jebakannya. AKM dan PISA memang sengaja menyelipkannya.
(Kalau yang ditanya sentimeter: 7⁄12 × 60 ＝ 35 cm, dan sisanya 5⁄12 × 60 ＝ 25 cm. Barulah angka itu diperlukan.)