Week 02 — 長男 小5 ／ 数と計算
Common denominators and cancelling — one idea, used twice
先週、倍数と約数をやりました。あれは道具です。今週がその使い道です。
最小公倍数は通分に使い、最大公約数は約分に使います。それだけです。
1⁄4 ＋ 1⁄6 は、いくつでしょうか。
1⁄4 ＋ 1⁄6 ＝ 2⁄10
分子どうしをたして、分母どうしをたした答えです。これはちがいます。
たしかめてみましょう。1⁄4 は 1⁄6 より大きい数です。その2つをたしたのに、答えの 2⁄10＝1⁄5 は 1⁄4 より 小さく なっています。ものをたしたのに減るはずがありません。
1本のテープを4つに切ったときの1こと、6つに切ったときの1こでは、ピースの大きさがちがいます。
大きさのちがうものは、そのまま数えられません。みかん3こ と りんご2こ をたして「5」と言えないのと同じです。
4つ切りも6つ切りも、12こ切りにすれば同じ大きさになります。
1⁄4 ＝ 3⁄12 1⁄6 ＝ 2⁄12
12 は 4 と 6 の 最小公倍数 です。どちらの分母でもわりきれる数のうち、いちばん小さいもの。
これが「先週なぜ最小公倍数をやったか」の答えです。
18⁄24 を、もっと少ないピース数で書き直せます。
18 と 24 の 最大公約数 は 6。上も下も 6 でわると 3⁄4。
大きさは1ミリも変わっていません。書き方が短くなっただけです。
通分が「細かく切る」なら、約分は「まとめる」。同じ操作の向きちがいです。
1⁄4 ＋ 1⁄6
① 分母 4 と 6 の最小公倍数 → 4の倍数 4, 8, 12 ／ 6の倍数 6, 12 → 12
② 1⁄4 は 上下に3をかけて 3⁄12 1⁄6 は 上下に2をかけて 2⁄12
③ 3⁄12 ＋ 2⁄12 ＝ 5⁄12
分子だけたします。分母はたしません。「12こ切りが3つと2つで5つ」だからです。
5⁄6 − 1⁄4
① 6 と 4 の最小公倍数は 12
② 5⁄6 ＝ 10⁄12 1⁄4 ＝ 3⁄12
③ 10⁄12 − 3⁄12 ＝ 7⁄12
18⁄24 を約分する
① 18 の約数 1, 2, 3, 6, 9, 18 ／ 24 の約数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
② 共通のうちいちばん大きいのは 6
③ 18 ÷ 6 ＝ 3 24 ÷ 6 ＝ 4 → 3⁄4
答えは、これ以上約分できない形（既約分数）にして書きます。
1⁄6 ＋ 1⁄3
① 最小公倍数は 6 → 1⁄6 ＋ 2⁄6 ＝ 3⁄6
② 3⁄6 は 3 でわれる → 1⁄2
たし算のあと、約分できないか必ず見る。 ここを忘れる人がいちばん多い。
2 と 3 の最小公倍数は 6。
1⁄2 ＝ 3⁄6 1⁄3 ＝ 2⁄6
3⁄6 ＋ 2⁄6 ＝ 5⁄6
2⁄5 ではありません。分母どうしをたしてはいけません。
4 と 6 の最小公倍数は 12。
9⁄12 ＋ 2⁄12 ＝ 11⁄12
6 と 9 の最小公倍数は 18。
15⁄18 − 4⁄18 ＝ 11⁄18
24 と 36 の最大公約数は 12。
24 ÷ 12 ＝ 2 36 ÷ 12 ＝ 3 → 2⁄3
2 で3回わっても同じ答えに着きます（12⁄18 → 6⁄9 → 2⁄3）。遠回りなだけで、まちがいではありません。
4 と 12 の最小公倍数は 12（12 は 4 の倍数なので、12 のままでよい）。
3⁄12 ＋ 1⁄12 ＝ 4⁄12
4 と 12 は 4 でわれる → 1⁄3
通分は、くらべるときにも使えます。
3 と 8 の最小公倍数は 24。
2⁄3 ＝ 16⁄24 5⁄8 ＝ 15⁄24
16 > 15 なので、2⁄3 のほうが大きい
通分は、たすためだけの道具ではありません。
数字を出す問題ではありません。文で答えます。
こたえの例：
「1⁄2 だけでも 2⁄5 より大きいのに、そこに 1⁄3 をたした答えが 2⁄5 になるのはおかしい。たしたのに減ってしまっている。
分母をたすというのは、ピースの数を勝手に増やすことで、1こ分の大きさを変えてしまうから正しくない。」
この説明ができることが、この単元でいちばん大事です。
どちらも正しい答えになります。ただし 48 を使うと数が大きくなり、最後に約分する手間が増えます。
最小公倍数を使うのは、あとで約分しなくてすむ確率がいちばん高いから です。決まりだからではありません。
ここからは算数の服を脱がせます。中身は同じです。
パソコンの画面は よこ 1920 つぶ、たて 1080 つぶ でできています。この画面を「16 : 9」と呼びます。
1920 と 1080 の最大公約数は 120。
1920 ÷ 120 ＝ 16 1080 ÷ 120 ＝ 9
画面のかたちは1ミリも変わっていません。 書き方を短くしただけ。
18⁄24 を 3⁄4 にするのと、まったく同じ操作です。
12枚の歯車と18枚の歯車がかみ合っています。両方の印が上を向いた状態から回します。
また両方の印が上を向くのは、何枚かみ合ったときでしょうか。
12 と 18 の最小公倍数 → 36枚
そのとき 小さいほうは 36 ÷ 12 ＝ 3回、大きいほうは 36 ÷ 18 ＝ 2回 まわっています。
12 × 18 ＝ 216 ではありません。 かけると「両方が3回ずつ回るまで」を数えてしまいます。
4人分のレシピに「さとう 1⁄4 カップ、しお 1⁄6 カップ」とあります。全部で何カップ入れることになりますか。
1⁄4 ＋ 1⁄6 ＝ 5⁄12 カップ。
計量カップに 5⁄12 の目盛りはありません。だから実際には「1⁄3 より少し多い」と読むことになります。分数は、答えを出すためだけでなく、量を見当づけるためにも使います。
実際の試験問題そのものは載せていません。理由は下の枠に書いてあります。原典へのリンクから開いて、解いたあとに並べてください。
この問題が見ているもの：計算ができるかではなく、なぜその方法でよいのかを説明できるか。小学校算数の「活用」の問題は、毎年ここを見ています。
⑴ 理由の例
「1⁄3 だけでも 2⁄7 より大きい。それに 1⁄4 をたしたのだから、答えが 2⁄7 になるはずがない。」
計算せずに「大きさの見当」で気づけることが問われています。
⑵ 3 と 4 の最小公倍数は 12。
4⁄12 ＋ 3⁄12 ＝ 7⁄12
⑶ 説明の例
「分母をたしてしまったのがまちがいです。分母は1こ分の大きさを表しているので、たすと大きさが変わってしまいます。先に分母を12にそろえて、分子だけをたします。」
この問題が見ているもの：インドネシアの numerasi の型。文脈の中に分数が置かれ、いらない情報がまぜてあります。 どの数を使うかを自分で決めるところが問題です。
⑴ 1⁄4 ＋ 1⁄3。4 と 3 の最小公倍数は 12。
3⁄12 ＋ 4⁄12 ＝ 7⁄12
⑵ 満水は 1 ＝ 12⁄12。
12⁄12 − 7⁄12 ＝ 5⁄12
⑶ 必要ありませんでした。
⑴も⑵も分数のままで答えられます。60 cm は使わない情報です。
「書いてある数は全部使う」と思い込むと、必ずここで引っかかります。
AKM も PISA も、この形をわざと入れてきます。
（もし「何 cm か」と聞かれたら、7⁄12 × 60 ＝ 35 cm、残りは 5⁄12 × 60 ＝ 25 cm。そのときは必要な情報になります。）